Brüche zu addieren ist eigentlich ganz simpel, wenn man es einmal verstanden hat. Doch bevor wir darauf näher eingehen, gibt es zunächst ein paar einführende Worte zu Brüchen. Danach geht es auch schon los mit der Addition von Brüchen mit gemeinsamem und unterschiedlichem Nenner. Abschließend behandeln wir fünf Beispiele, um die Theorie zu festigen.
Einführung Brüche
Brüche werden genutzt, um Teile eines Ganzen zu beschreiben. Wenn du weniger als einen ganzen Kuchen hast, kannst du Brüche nutzen, um anzugeben wie viel Kuchen du wirklich hast. Solche Bruchangaben können wie folgt aussehen:
1/2
= 1 Kuchenstück von insgesamt 2 Kuchenstücken
3/4
= 3 Kuchenstücke von insgesamt 4 Kuchenstücken
6/8
= 6 Kuchenstücke von insgesamt 8 Kuchenstücken
Wenn du Brüche addieren möchtest, gibt es jedoch einige Dinge zu beachten.
Brüche addieren mit gemeinsamem Nenner
Brüche zu addieren ist ziemlich einfach so lange du gemeinsame Nenner hast. Der Nenner ist die Zahl unter dem Bruchstrich. Über dem Bruchstrich findest du den Zähler. Angenommen, du hast folgende Aufgabe zu lösen:
Da beide Brüche denselben Nenner (6) haben, kann man die Zähler einfach zusammenrechnen:
Stell dir vor, du hast einen Kirschkuchen und einen Apfelkuchen gekauft. Nachdem sich ein paar deiner Gäste am Dessert bedient haben, hat der Kirschkuchen noch 2 Stücke von insgesamt 6 Stücken. Der Apfelkuchen hingegen hat noch 3 Stücke von 6 Stücken. Wenn du die übrigen Stücke addierst, weißt du, dass du noch 5 Kuchenstücke hast, die du mit deinen Gästen teilen kannst.
Brüche vereinfachen
Beispiel:
5/12
+
1/12
=
6/12
Nachdem du Brüche addiert hast, ist es wichtig, das Ergebnis in der einfachsten Form anzugeben. Folglich musst du sichergehen, dass die Lösung auf die einfachste Form reduziert wird. Dafür musst du folgendes machen:
- Berücksichtige die Faktoren des Zählers und des Nenners
- Bestimmte den größten gemeinsamen Faktor. Dies ist die höchste Zahl mit der du durch Zähler und Nenner gleichmäßig teilen kannst.
6 – 1, 2, 3, 6
12 – 1,2, 3, 4, 6, 12
Für das obige Beispiel ist der größte gemeinsame Nenner 6.
- Wenn du Zähler und Nenner durch 6 teilst, erhältst du ½. Dies ist die einfachste Form des Bruchs.
Es ist essentiell, dass der Bruch nicht weiter vereinfacht werden kann.
Gemischte Brüche und unechte Brüche addieren
Ein gemischter Bruch beinhaltet neben dem Bruch außerdem noch eine ganze Zahl. Beispiel:
5 ¾ = 5 ganze Kuchen sowie 3 Kuchenstücke von insgesamt 4 Kuchenstücken
2 ½ = 2 ganze Kuchen sowie ein halber Kuchen
Diese Brüche zu addieren kann etwas kompliziert sein. Um den Rechenprozess zu vereinfachen, wandelst du den gemischten Bruch einfach in einen unechten Bruch um. Beim unechten Bruch ist der Zähler größer als der Nenner. Beispiel:
2 ¾ + ¼ = ?
Du weißt, dass 1 = 4/4 ist. Folglich sind 2 = 8/4. Addiere die umgewandelte ganze Zahl mit dem Bruch:
2 ¾ + ¼ = ?
8/4 + ¾ + ¼ = ?
8+3/4 + ¼ = ?
11/4 + ¼ = 12/4 = 3/1 = 3
Nachdem du das Ergebnis errechnet hast, kannst du den Bruch (12/4) vereinfachen. In diesem Fall ergibt der Bruch die ganze Zahl 3.
Brüche addieren mit unterschiedlichen Nennern
Die Grundregeln beim Addieren von Brüchen zu kennen, ist wichtig. Allerdings haben Gleichungen oftmals Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Was solltest du in diesem Fall beachten? Bevor du die Brüche addierst, benötigst du gleiche Nenner.
Einer der einfachsten Methoden gemeinsame Nenner zu finden besteht darin, den ersten Zähler und Nenner mit der Zahl des zweiten Nenners zu multiplizieren und umgekehrt. Das folgende Beispiel soll für mehr Klarheit schaffen:
2/3 + 2/4 = ?
Da die Brüche unterschiedliche Nenner haben, musst du zunächst den gemeinsamen Nenner definieren. Dafür multiplizierst du den Nenner des zweiten Bruchs mit Zähler und Nenner des ersten Bruchs. Außerdem multiplizierst du Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs.
2*4 / 3*4 + 2*3 / 4*3 = ?
8/12 + 6/12
Ab hier kannst du die Zähler der Brüche einfach addieren:
8+6/12 = 14/12
Das Endergebnis ist ein unechter Bruch. Dieser ist in einen gemischten Bruch umzuwandeln. Außerdem kann der Bruch um den Faktor 2 vereinfacht werden:
14/12 = 1 2/12 = 1 1/6
Beispielaufgaben: Brüche addieren, umwandeln und vereinfachen
Um die Fähigkeit, Brüche zu addieren, weiter zu vertiefen, werden im Folgenden Rechenbeispiele analysiert. Bevor du dir die Rechenbeispiele genauer ansiehst, kannst du doch mal versuchen, folgende fünf Bruchaufgaben selbst zu lösen. Wenn du die Nenner umwandeln musst, mache das möglichst als erstes. Dann kannst du die Brüche addieren, lösen und eventuell kürzen.
Rechenbeispiele:
-
5/6
+ 7/10
-
10/12
+ 2/3
- 2
3/4
+ 5/12
-
4/7
+ 7/8
-
3/9
+ 33/8
Brüche addieren – Beispiel 1
5/6 + 7/10 = ?
Wie du siehst, haben die Brüche keinen gemeinsamen Nenner. Als erstes muss dieser also gefunden werden. Du erinnerst dich, am einfachsten geschieht das, indem man die Brüche mit dem jeweils gegenüberliegenden Nenner multipliziert. Beachte, dass Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden müssen.
Wenn du schon etwas erfahrener darin bist, Brüche zu addieren (16), ist dir vielleicht aufgefallen, dass beide Brüche Faktoren der Zahl 30 sind. Das heißt, dass du die jeweiligen alternativ mit passenden Faktoren multiplizieren kannst, um als gemeinsamen Nenner 30 zu erhalten (6⋅5 und 10⋅3).
Nachdem die Brüche entsprechend erweitert wurden und nun einen gemeinsamen Nenner haben, kann man die Zähler einfach addieren. Da die Summe ein unechter Bruch ist, ist der Bruch in einen gemischten Bruch umzuwandeln, bevor er weiter gekürzt wird.
Lösung 1
5/6 + 7/10
= 5*10 / 6*10 + 7*6 / 10*6 = ?
= 50/60 + 42/60 = 92/60
= 1 32/60
= 1 8/15
|
Lösung 2
5/6 + 7/10
= 5*5 / 6*5 + 7*3 / 10*3 = ?
= 25/30 + 21/30 = 46/30
= 1 16/30
= 1 8/15
|
Brüche addieren – Beispiel 2
10/12 + 2/3 = ?
Auch hier hast du wieder das Problem, dass die Nenner unterschiedlich sind. Da 3 ein Faktor von 12 ist, musst du in diesem Fall einfach nur den zweiten Bruch um den Faktor 4 erweitern. So erhältst du den gemeinsamen Nenner 12 und kannst die Zähler der Brüche addieren. Da das Ergebnis ein unechter Bruch ist, empfiehlt es sich, den Bruch in einen gemischten Bruch umzuwandeln. Auf diese Weise kannst du den Bruch ganz simpel kürzen.
Lösung
10/12 + 2/3 = ?
=10/12 + 2*4 / 3*4
=10/12 + 8/12
=10/12 + 8/12
=10+18/12
=18/12
=1 6/12
= 1 ½
Brüche addieren – Beispiel 3
2 ¾ + 5/12 = ?
Bei diesem Beispiel hat der erste Bruch eine ganze Zahl. Dieser Bruch muss also in einen unechten Bruchgewandelt werden. Da 1 = 4/4 ist und im Beispiel eine 2 als ganze Zahl aufgeführt ist, kannst du 8/4 zum ersten Bruch hinzurechnen. Danach ist wieder ein gemeinsamer Nenner nötig. Ähnlich wie beim früheren Beispiel, ist 4 ein Faktor von 12. Das heißt, du musst nur Zähler und Nenner vom ersten Nenner mit 3 multiplizieren, um den Bruch umzuwandeln.
Nun kannst du die Brüche addieren. Als Ergebnis erhältst du einen unechten Bruch. 38 kann dreimal durch zwölf dividiert werden (12⋅3=36). Übrig bleibt ein Rest von 2. Folglich hast du 3 Ganze sowie 2 Teile von insgesamt 12 Teilen. Dies kannst du wiederum um den Faktor 2 vereinfachen.
2 ¾ + 5/12
= 11/4 + 5/12
= 11*3 / 4*3 + 5/12
= 33/12 + 5/12 = 38/12
= 38/12
= 3 2/12
= 3 1/6
Brüche addieren – Beispiel 4
4/7 + 7/8 = ?
Erneut kann man die Brüche nicht einfach addieren. Indem du die Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs multiplizierst (Zähler und Nenner), kommst du auf einen gemeinsamen Nenner von 56. Wieder kannst du die Zähler der Brüche addieren und anschließend den Bruch vereinfachen.
Weil beim Resultat der Zähler größer ist als der Nenner, musst du den Bruch erst in einen gemischten Bruch umwandeln. 25 und 56 haben keine gemeinsamen Faktoren haben, daher kannst du sie nicht weiter vereinfachen.
4/7 + 7/8
= 4*8 / 7*8 + 7*7 / 8*7
= 32/56 + 49/56
= 81/56
= 1 25/56
Brüche addieren – Beispiel 5
3/9 + 3 3/8 = ?
Beim letzten Beispiel musst du den gemischten Bruch erst in einen einfachen Bruch umwandeln. 1 = 8/8, also sind 3 = 24/8. Diese addierst du zu den 3/8. Als nächstes benötigst du einen gemeinsamen Nenner, damit du die Brüche addieren kannst. Dazu multiplizierst du die jeweiligen Nenner mit Zähler und Nenner des gegenüberliegenden Bruchs. Das Ergebnis wandelst du in einen gemischten Bruch um und prüfst, um welchen Faktor du den Bruch vereinfachen kannst.
51 kannst du durch die Faktoren 1, 3, 17 und 51 teilen. 72 hingegen kannst du durch die Faktoren 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 und 72 teilen. Der höchste gemeinsame Faktor ist 3. Mit diesem vereinfachst du den Bruch.
3/9 + 3 3/8
= 3/9 + 24+3/8
= 3/9 + 27/8
= 3*8/9*8 + 27*9/8*9
= 24/72 + 243/72
= 267/72
= 3 51/72
= 3 17/24
Übungsaufgaben und Bruchrechner
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