Übersicht
- Definition Brüche
- Funktion des Bruchrechners
- Brüche vereinfachen
- Brüche addieren
- Brüche subtrahieren
- Brüche multiplizieren
- Brüche dividieren
- Übungsaufgaben
Definition Brüche
In der Mathematik ist ein Bruch eine Zahl, die einen Teil eines Ganzen darstellt. Ein Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner. Der Zähler gibt die Anzahl gleicher Teile eines Ganzen an. Der Nenner hingegen zeigt auf, wie viele einzelne Teile es insgesamt gibt. Beim Bruch 6/8 beispielsweise ist 6 der Zähler und 8 der Nenner. Bildlich dargestellt, erhält man beim genannten Bruch einen Kuchen, welcher in acht gleiche Stücke geteilt wurde und von dem man drei Stücke gegessen hat. Es sind also noch fünf von insgesamt acht Stücken übrig.
Teilt man den Kuchen jedoch in vier gleiche Stücke und isst ein Stück, bleiben noch drei von vier Stücken übrig. Als Bruch erhält man also 3/4. Sowohl 6/8 als auch 3/4 beschreiben die gleiche Menge Kuchen. Um das Rechnen mit Brüchen leichter zu gestalten, werden Brüche gekürzt bzw. vereinfacht. So wird in der Rechenpraxis mit 3/4 statt 6/8 kalkuliert.
Es wird unterschieden zwischen echten und unechten Brüchen. Ist der Zähler kleiner als der Nenner, also beispielsweise 1/3 , ist von einem echten Bruch die Rede. Ist der Zähler gleich oder größer dem Nenner, z.B. 4/4 oder 5/2 , wird ein unechter Bruch gemeint.
Wenn der Zähler größer als der Nenner ist und man folglich einen unechten Bruch erhält, lassen sich daraus gemischte Brüche darstellen. Das heißt, dass erst der ganzzahlige Anteil geschrieben wird und danach der übrige Anteil als echter Bruch. Aus 5/3 wird also 1 2/3 . Oder anders formuliert: 3 /3 + 2/ 3 .
Funktion des Bruchrechners
Mit dem Bruchrechner kannst du Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Du kannst sowohl einfach Brüche als auch gemischte Brüche berechnen. Möchtest du nur einfache Brüche berechnen, setzt du einfach nur die jeweiligen Werte in das Feld für Zähler bzw. Nenner. Die Felder für die ganzzahligen Anteile kannst du frei lassen. Willst du aber gemischte Brüche berechnen, nutzt du auch die Felder für die ganzzahligen Anteile. In der Mitte befindet sich das Dropdown-Menü, mit dem du bestimmen kannst, ob du Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren möchtest.
Weiterhin stehen dir beim Bruchrechner zwei Buttons zur Verfügung. Mit dem Button „Felder leeren“ kannst du die Zahlen aus allen Feldern entfernen, damit du einfach eine neue Rechnung beginnen kannst. Klickst du auf „Berechnen“, wird deine Bruchrechnung realisiert. Das Ergebnis wird dir sowohl als gekürzter Bruch als auch als Dezimalzahl angezeigt. Der Bruchrechner stellt dir außerdem in einer kleinen Kuchengrafik dar, welchen Anteil der Bruch in einem gesamten Stück ausmacht. Um das Ergebnis besser nachvollziehen zu können, wird der Rechenweg bei jeder Rechnung angezeigt. Des Weiteren sind noch Beispiele aufgeführt, die dir Helfen sollen, den Bruchrechner richtig zu bedienen.
Brüche vereinfachen
Brüche zu vereinfachen oder zu erweitern bedeutet nichts anderes, als Brüche mit einem Faktor zu dividieren oder multiplizieren. Besonders bei anspruchsvolleren Bruchrechnungen bietet es sich an, möglichst mit vereinfachten Brüchen zu rechnen. Bei der Vereinfachung von Brüchen ist es wichtig, stets durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren. Bei 6 / 8 teilt man sowohl Zähler als auch Nenner durch den gemeinsamen Teiler 2. Damit erhält man 3 / 4 . Den Bruch 3 / 9 kann man mit dem gemeinsamen Teiler 3 vereinfachen und man bekommt den gekürzten Bruch 1 / 3 . Der Bruchrechner zeigt dir immer die einfachste Variante eines Bruchs an.
Brüche addieren mit dem Bruchrechner
Um Brüche zu addieren, muss der nächste gemeinsame Nenner gefunden werden. Dazu werden Zähler und Nenner jedes Bruchs jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs multipliziert.
Beispiel: 3 / 4 + 1 / 6 = ?Hat man den gemeinsamen Nenner gefunden, in diesem Beispiel 24, kann man die Zähler zusammenzählen und man erhält das Ergebnis, das man ggf. noch kürzen kann.
Beispiel: 18 / 24 + 4 / 24 = 22 / 24 = 11 / 12Gibst du das genannte Beispiel in den Bruchrechner ein, wirst du dasselbe Ergebnis inklusive Dezimalzahl erhalten. Beim Rechenweg wirst du allerdings feststellen, dass der Bruchrechner bereits während des Rechenvorgangs gekürzt hat:
18 / 24 + 4 / 24 = 9 / 12 + 2 / 12Beide Rechenwege sind natürlich korrekt. Für die schriftliche Berechnung von Brüchen ist es aber wohl einfacher, das Ergebnis zu kürzen. Berechnest du gemischte Brüche mit dem Bruchrechner, wirst du sehen, dass ganze Zahlen jeweils erst in den Zähler integriert werden und dann erst ein gemeinsamer Nenner bestimmt wird. Theoretisch ist die Integration ganzer Zahlen in den Zähler nicht notwendig und wird beim Rechner auch nur aus Gründen der Einfachheit verwendet.
Erfahre hier mehr über die Addition von Brüchen.Brüche subtrahieren
Bei der Subtraktion von Brüchen gilt das gleiche Prinzip wie bei der Addition. Um Brüche subtrahieren zu können, muss zunächst ein gemeinsamer Nenner bestimmt werden. Es werden erneut Zähler und Nenner mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs multipliziert.
Beispiel: 3 / 4 – 1 / 6 = ?Ist der gemeinsame Nenner definiert, lassen sich die Zähler voneinander subtrahieren. Schließlich erhält man das Ergebnis, das man – sofern die Möglichkeit besteht – kürzen kann.
Beispiel: 18 / 24 – 4 / 24 = 14 / 24 = 7 / 12Beim Subtrahieren von Brüchen mit dem Bruchrechner wirst du bemerken, dass der Rechner wieder während des Rechenwegs Brüche kürzt. Auch hier ist es Geschmackssache, ob man schon während des Rechenvorgangs kürzt oder erst das Ergebnis selbst. Bei gemischten Brüchen werden beim Bruchrechner ganze Zahlen wieder in den Zähler des jeweiligen Bruchs integriert. Wie schon bei der Addition spielt es keine Rolle ob man aus gemischten Brüchen einfache Brüche macht oder ob man die Brüche mit ganzen Zahlen berechnet.
Mehr über Subtraktion von Brüchen erfahren.Brüche multiplizieren
Im Vergleich zur Addition und Subtraktion ist die Multiplikation von Brüchen um ein Vielfaches einfacher. Das liegt daran, dass kein gemeinsamer Nenner definiert werden muss. Die jeweiligen Zähler und Nenner können einfach miteinander multipliziert werden. Daraufhin erhält man direkt das Ergebnis, das man noch vereinfachen kann.
Beispiel: 3 / 4 ⋅ 1 / 6 = 3 ⋅ 1 / 4 ⋅ 6 = 3 / 24 = 1 / 8Den beschriebenen Vorgang kannst du beim Rechenweg des Bruchrechners klar nachzuvollziehen. Im Gegensatz zur Addition und Subtraktion, sind gemischte Brüche in einfache Brüche umzuwandeln, da die Multiplikation sonst nicht möglich ist.
Erfahre hier mehr über die Multiplikation von Brüchen.Brüche dividieren
Die Division von Brüchen ist ebenfalls viel einfacher. Anders als bei der Multiplikation kannst du aber nicht einfach Zähler durch Zähler und Nenner durch Nenner dividieren. Möchtest du durch einen Bruch dividieren, musst du mit seinem Kehrwert multiplizieren. Das heißt einfach nur, dass du Zähler und Nenner vom Divisor (dem Teil nach :-Zeichen) tauschst.
Beispiel: 2 / 5 : 1 / 3 = 2 ⋅ 3 / 5 ⋅ 1 = 6 / 5 = 1 1 / 5Der Bruchrechner zeigt dir deutlich auf, dass Zähler und Nenner vom Divisor getauscht und mit Zähler und Nenner des Multiplikators (Teil der Multiplikation vor dem ⋅-Zeichen) multipliziert werden. Da aus einer Division zur Berechnung eine Multiplikation wird, ist es logisch, dass gemischte Brüche in einfache Brüche umgewandelt werden müssen.
Mehr über Division von Brüchen erfahren.Übungsaufgaben zum Bruchrechner
Damit du das Bruchrechnen mit dem Bruchrechner üben kannst, haben wir dir einige Übungsaufgaben online zur Verfügung gestellt. Du kannst zum einen wählen, ob du Aufgaben gruppiert nach Rechenart bearbeiten möchtest. Zum anderen kannst du dich für die gemischte Variante entscheiden, bei der die Aufgaben kreuz und quer aufgeführt sind. Ob dein Rechenweg und dein Ergebnis richtig sind, überprüfst du anschließend mit dem Bruchrechner. Viel Erfolg beim Rechnen! Hier geht’s zu den Übungsaufgaben.